Inicio este blog para buscar el sendero más corto que me lleve a los factores primos de un número compuesto. Actualmente hay senderos que los encuentran, si dicho número es pequeño, pero cuando se trata de números de más de 50 cifras, esos senderos tardaríamos mucho tiempo (años) en recorrerlos. Hablando técnicamente, ese sendero es el algoritmo de factorización más rápido que nunca ha existido. Es para mí un reto, una curiosidad, una búsqueda interior, que mientras ocurre me satisface. Mientras investigo creo que lo tengo delante, pero no lo veo. Invito a todas las personas interesadas en este algoritmo a trabajar juntas, aportando lo que cada uno sabe en este blog. COMPARTE EL CONOCIMIENTO, COMPARTE EL PODER.
El orden de las entradas de este blog sigue un orden cronológico inverso para poder visualizar en primer lugar la más antigua, es decir, la entrada más antigua es la que tiene la fecha más reciente.
jueves, 15 de septiembre de 2011
Números primos con 6K +1 y 6K + 5
Los números primos son aquellos que no tienen divisores que den un cociente entero salvo el mismo número primo o el 1. Su conjunto es P, que es el conjunto de todos los números primos y, es infinito.Existen varias fórmulas que generan un conjunto de números (el rango o recorrido de dicha fórmula), dentro del cual encontramos a P. Por ejemplo, 4t + 1 y 4t - 1:
para t=3, 4*3 +1= 13 y 4*3 -1= 11.
Yo estoy trabajando con otras dos fórmulas: 6K + 1 y 6K + 5. A medida que damos valores de números naturales a K, empezando por el 1, y sustituyendo primero en 6K + 1 y después en 6K + 5, obtenemos un conjunto ordenado, de forma creciente, dentro del cual encontramos a P.
Los números generados por 6K + 1 y 6K + 5 no son divisibles entre 2 ni entre 3 por lo siguiente:
(6K+1)/2 = 3K + 1/2 --> 3K es un número entero --> 1/2 es un número racional
6K + 1 es un número entero, por tanto no puede estar formado por la suma de un número entero y 1/2.
Lo mismo para 6K + 5 e idem al dividir entre 3 ambas fórmulas.
Aquí está una tabla con los 100 primeros valores de K y su correspondiente 6K+1 y 6K+5:
para t=3, 4*3 +1= 13 y 4*3 -1= 11.
Yo estoy trabajando con otras dos fórmulas: 6K + 1 y 6K + 5. A medida que damos valores de números naturales a K, empezando por el 1, y sustituyendo primero en 6K + 1 y después en 6K + 5, obtenemos un conjunto ordenado, de forma creciente, dentro del cual encontramos a P.
Los números generados por 6K + 1 y 6K + 5 no son divisibles entre 2 ni entre 3 por lo siguiente:
(6K+1)/2 = 3K + 1/2 --> 3K es un número entero --> 1/2 es un número racional
6K + 1 es un número entero, por tanto no puede estar formado por la suma de un número entero y 1/2.
Lo mismo para 6K + 5 e idem al dividir entre 3 ambas fórmulas.
Aquí está una tabla con los 100 primeros valores de K y su correspondiente 6K+1 y 6K+5:
miércoles, 14 de septiembre de 2011
Números que responden a 6K+1
Sea Z el número que queremos factorizar. Z responde a 6K+1 si (Z-1)/6 es un número entero, al cual llamo K.
Si el número, del que queremos saber sus factores primos, responde a 6K+1, debemos saber que:
- o es primo,
- o está formado por el producto a)
- o está formado por el producto b)
- producto a) :formado por dos números que responden a 6K+1,
es decir,si 6K1+1 es nuestro número:
a) 6K1+1 = (6K2+1)(6K3+1)
- producto b) :formado por dos números que responden a 6K+5, es decir:
b) 6K1+1 = (6K2+5)(6K3+5)
Despejando K1 en cada producto:
a) K1= K2 + K3 + 6 K2K3
b) K1= 4 + 5K2 + 5K3 + 6 K2K3
Si el número, del que queremos saber sus factores primos, responde a 6K+1, debemos saber que:
- o es primo,
- o está formado por el producto a)
- o está formado por el producto b)
- producto a) :formado por dos números que responden a 6K+1,
es decir,si 6K1+1 es nuestro número:
a) 6K1+1 = (6K2+1)(6K3+1)
- producto b) :formado por dos números que responden a 6K+5, es decir:
b) 6K1+1 = (6K2+5)(6K3+5)
Despejando K1 en cada producto:
a) K1= K2 + K3 + 6 K2K3
b) K1= 4 + 5K2 + 5K3 + 6 K2K3
martes, 13 de septiembre de 2011
Números que responden a 6K + 5
Sea Z el número que queremos factorizar. Z responde a 6K+5 si (Z - 5)/6 es un número entero, al cual llamo K.
Si el número, del que queremos saber sus factores primos, responde a 6K+5, debemos saber que:
- o es primo,
- o está formado por el producto c)
- producto c) : formado por dos números distintos (no existe un X tal que X2 = 6K+5), de los cuales, uno responde a 6K+1 y el otro a 6K+5. Es decir, si 6K1+5 es nuestro número, entonces:
6K1+5 = (6K2+1)(6K3+5)
Despejando K1 obtenemos:
K1 = 6K2K3 + 5K2 + K3
* También se puede utilizar el conjunto 6Kh -1 en vez de 6Ki +5,
pero teniendo en cuenta que Kh = Ki+1
Si el número, del que queremos saber sus factores primos, responde a 6K+5, debemos saber que:
- o es primo,
- o está formado por el producto c)
- producto c) : formado por dos números distintos (no existe un X tal que X2 = 6K+5), de los cuales, uno responde a 6K+1 y el otro a 6K+5. Es decir, si 6K1+5 es nuestro número, entonces:
6K1+5 = (6K2+1)(6K3+5)
Despejando K1 obtenemos:
K1 = 6K2K3 + 5K2 + K3
* También se puede utilizar el conjunto 6Kh -1 en vez de 6Ki +5,
pero teniendo en cuenta que Kh = Ki+1
lunes, 12 de septiembre de 2011
Resumen de lo anterior
Tenemos Z, un número compuesto (no par, ni múltiplo de 3 ni de 5), del cual queremos conocer sus factores primos.
1º) Hallar si responde a 6K1+1 ó a 6K1+5
2º) Si responde a 6K1+1 entonces hay que saber si:
K1= K2+K3+6K2K3
ó si
K1- 4= 5K2+5K3+6K2K3
3º) Si responde a 6K1+5 entonces:
K1= 5K2+K3+6K2K3
4º) Hallar el valor de K2 y de K3 (aquí está la cuestión)
* La función a estudiar se reduce a:
f(x,y) = Ax + By + Cxy donde A=1 ó A=5; B=1 ó B=5; C=6
de la cual nos proporcionan el valor de f(x,y) y queremos hallar el valor de las incógnitas x e y.
EJEMPLO:
Z = 91, responde a 6K1+1, por tanto, K1= 15
15 = K2+K3+6K2K3
Al ser un número pequeño los cálculos se reducen y:
K2=1 y K3=2
Respuesta: factores primos de 91:
6K2+1 = 6*1 + 1 = 7
6K3+1 = 6*2 + 1 = 13
1º) Hallar si responde a 6K1+1 ó a 6K1+5
2º) Si responde a 6K1+1 entonces hay que saber si:
K1= K2+K3+6K2K3
ó si
K1- 4= 5K2+5K3+6K2K3
3º) Si responde a 6K1+5 entonces:
K1= 5K2+K3+6K2K3
4º) Hallar el valor de K2 y de K3 (aquí está la cuestión)
* La función a estudiar se reduce a:
f(x,y) = Ax + By + Cxy donde A=1 ó A=5; B=1 ó B=5; C=6
de la cual nos proporcionan el valor de f(x,y) y queremos hallar el valor de las incógnitas x e y.
EJEMPLO:
Z = 91, responde a 6K1+1, por tanto, K1= 15
15 = K2+K3+6K2K3
Al ser un número pequeño los cálculos se reducen y:
K2=1 y K3=2
Respuesta: factores primos de 91:
6K2+1 = 6*1 + 1 = 7
6K3+1 = 6*2 + 1 = 13
domingo, 11 de septiembre de 2011
Empezamos con 6K+1
Vamos a suponer que el número que queremos factorizar responde a 6K1+1 y que está formado por el producto de otros dos números que responden, uno a 6K2+1 y otro a 6K3+1.
Por tanto, K1= K2+K3+6K2K3.
A continuación hallamos el resto, R, de dividir K1 entre 6, R = K1mod6.
A continuación muestro 6 tablas que podemos obterner, que corresponden a los 6 posibles R, empezando por R=0.
En cada tabla, los posibles valores están ordenados de forma creciente y agrupados por el mismo valor de la suma K2+K3, siendo el valor de la variable i el resultado entero de dividir dicha suma entre 6.
Sólo he puesto los valores hasta i=3, pero i llega hasta el infinito.:
Por tanto, K1= K2+K3+6K2K3.
A continuación hallamos el resto, R, de dividir K1 entre 6, R = K1mod6.
A continuación muestro 6 tablas que podemos obterner, que corresponden a los 6 posibles R, empezando por R=0.
En cada tabla, los posibles valores están ordenados de forma creciente y agrupados por el mismo valor de la suma K2+K3, siendo el valor de la variable i el resultado entero de dividir dicha suma entre 6.
Sólo he puesto los valores hasta i=3, pero i llega hasta el infinito.:
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